17、余數及其應用
基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余數的性質：
�、儆鄶敌∮诔龜�。
②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。
�、踑與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。
�、躠與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。
18、余數問題
余數、同余與周期
一、同余的定義：
�、偃魞蓚�整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。
�、谝阎齻�整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。
二、同余的性質：
�、僮陨硇裕篴≡a(mod m);
②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m);
③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m);
�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
�、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m);
�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m);
�、咄缎�:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關于乘方的預備知識：
①若A=a×b，則MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數特征：
�、僖粋�自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或(mod 3);
�、谝粋�自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。
