小學奧數換元法知識點講解

　　【例】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又

　　從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊？

　　【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個“和差問題”就知道：哥哥挑“(26+2)÷2=14”塊，弟弟挑“26-14=12”塊。

　　解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

　　換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來�；蛘咦優槭煜さ男问�，把復雜的計算和推證簡化。

　　它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

　　換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設2＝t（t>0），而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。

　　三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y＝√1-X^2的值域時，若x∈[-1，1]，設x＝sinα，sinα∈[-1，1]，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。

　　均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設x＝＋t，y＝－t等等。

　　我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0，]。

　　提示：解還原問題所作的相應的“逆運算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加(減)幾，還原時應為減(加)幾，原來是乘(除)以幾，還原時應為除(乘)以幾。

　　對于一些比較復雜的還原問題，要學會列表，借助表格倒推，既能理清數量關系，又便于驗算。