雖然這個活動都是以國際象棋的棋盤和棋子來說明，但實際上所需要的只是一些方格紙、一支鉛筆和一些國際象棋走法的基本知識。
車的巡回路徑
車的走法與中國象棋中的“車”相同，只能橫走或直走。研究車經過棋盤上每個方格一次，然后再回到起點的路徑。這種路徑會形成連續不斷的回路，可稱為“重返路徑”。圖1和圖2提供兩種走法作為參考。
車走完一次重返路徑，需要改變方向的次數最少是多少？
如果車的巡回路徑不一定要重返，那么可以只改變14次方向就經過每一方格一次。你能找出這條路徑嗎？
車是否可能由某一個角落出發，經過每一方格一次，最后到達相對的角落？
王后的巡回路徑
王后可以走對角線，也可以像車一樣直走或橫走，因此所走路徑的變化更多。
在圖3的例子中，王后的巡回路徑是對稱的，由一角落出發，最后到達相對的角落。在圖4的例子中路徑并不對稱，但可以重返。研究一下既對稱又能重返的巡回路徑。
如果允許王后經過每一方格的次數可以超過一次，那么就可以在只改變方向13次的情況下，完成重返巡回路徑。試找出這條路徑。
圖5的王后巡回路徑有一種特性。如果把所經過的方格依序給予連續的整數，以標有S的方格為1開始，那么就會形成一個幻方。請試試看。
象的巡回路徑
象只能沿
解答與分析
車的巡回路徑
要完成重返巡回路徑，至少要改變方向15次，如圖1。一條不必重返的巡回路徑，只要改變方向14次就可以完成，如圖2。
車不可能完成由某一角落到相對角落的巡回路徑。因為例如將車由左下角走到右上角，則向上的位移是7格，向右的位移也是7格，總共有14格的位移；因此在行進時，任何超過這個數目的向右移動，必定要以向左移動抵銷，向上移動也要以向下移動抵銷。所以，車要到達右上角，經過的方格數一定是偶數。但完成這個巡回路徑只有63個方格，因此不可能有這樣的巡回路徑。如果車由左下角出發，完成一條巡回路徑，最后可能結束于哪些方格？
換個角度來看這些問題，可以看成是個8×8的釘板，用一條橡皮圈接觸每一個釘子一次。參閱“5×5的釘板”。
王后的巡回路徑
任何由車所能完成的巡回路徑，王后都可以完成，因此我們將主要討論沿對角線方向移動的巡回路徑。圖3是一個四瓣旋轉對稱的重返巡回路徑，可以從中探討許多與數學有關的問題。
圖4中的路徑雖然經過一些方格兩次，但能在只改變方向13次的情況下，經過每一方格。
象的巡回路徑
象從角落的黑色方格出發后只能朝一個方向移動，因此這個方格不可能出現在象巡回路徑的中途。同理，在任何走黑色方格的巡回路徑中，角落的方格一定是起點或終點。
讓我們由圖5中標有1的方格出發，當象走到2時，只能再走到3或4。假設象走到3，那么略作思考就可以明白，4只會在最后一步時經過，因為只有一種方式能走到4，那就是經過5。但我們已經討論過，路徑的終點應該是在相對的角落，由此可見，不可能完成一條巡回路徑。
如果不能重復經過任何方格，則最多能經過29個方格。不管怎么走，一定會有至少3個黑色方格無法到達。圖6是一種走法，圖7是經過每一個黑色方格最有效的路徑。
